April 13th, 2008

rhino

И чего все к ней прицепились?

Большие сомнения у многих математиков вызывала, например, аксиома выбора Цермело (если имеется любой набор — конечный или бесконечный —множеств, то всегда можно образовать новое множество, выбрав по одному элементу из каждого множества, входящего в набор). С ее использованием доказываются весьма странные утверждения, скажем, теорема Банаха —Тарского. Согласно этой теореме, любое выпуклое тело можно разрезать на конечное число кусков таким образом, что, переставив их, мы получим выпуклоетело любого другого размера. Очевидно, что мир, описываемый аксиоматикой Цермело-Френкеля не может быть нашим физическим миром, где ничего подобного сделать нельзя.
(По этой ссылке, разд. 8.3.)

Вообще-то и без всякой аксиомы выбора можно доказать, например, что всякий куб можно разрезать на N кубиков, где N больше, чем количество атомов во Вселенной. Отсюда тоже следует, что мир, описываемый акиомами геометрии, не может быть нашим физическим миром, где ничего подобного сделать нельзя? И аксиоматика геметрии должна вызывать большие сомнения?