Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Еще рецензия

В.В.Прасолов. Элементы теории гомологий. М.: МЦНМО, 2006. 448 с.: ил. ISBN 5-94057-245-6
Тираж 1000 экз


Начнем с того, что воспроизведем названия глав.

Глава I. Симплициальные гомологии
Глава II. Кольцо когомологий
Глава III. Применения симплициальных гомологий
Глава IV. Сингулярные гомологии
Глава V. Когомологии Чеха и де Рама
Глава VI. Смесь

Приводить здесь подробное оглавление нет смысла, так как предварительная версия книги есть в сети.

Из этого сокращенного оглавления (и еще более — из оглавления подробного) видно, что книга, вместе с ее первой частью "Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии", содержит подробное и полное изложение существенной части "классической" алгебраической топологии (без спектральных последовательностей, но включая топологию многообразий).

В отличие от ряда популярных современных пособий, книга не претендует на легкодоступность, и использовать ее в качестве учебника, по мнению рецензента, затруднительно. Надо, однако, иметь в виду, что доступность изложения в книгах, подобных книге Фукса-Фоменко, демонстрирующей пренебрежение к строгим доказательствам, — вещь иллюзорная. Гораздо лучше открыто признать, что царского пути в алгебраическую топологию нет, и дать возможность начинающему читателю, взявшему в руки рецензируемую книгу, всерьез разобраться в предмете (желательно — под руководством компетентного наставника), а специалисту — подготовить серьезный курс (а точнее — не один, а много серьезных курсов). Я убежден, что книга будет долго пользоваться заслуженным успехом.

Несколько слов об особенностях изложения. Как видно уже из краткого оглавления, построение теории ведется на основе симплициальных комплексов и симплициальных гомологий, а сингулярные (ко)гомологии вводятся только тогда, когда без них уже совсем нельзя обойтись. Такое решение (можно, если угодно, рассматривать его как возвращение к истокам) представляется чрезвычайно удачным:симплициальная техника — органическая часть предмета, и автор этого обстоятельства не скрывает.

В книге приводятся два доказательства двойственности Пуанкаре: в главе I — для случая гладких (и, шире, триангулируемых) многообразий и в главе IV — для случая многообразий произвольных. Излишне говорить, что в первой части книги приводится строгое доказательство триангулируемости гладких многообразий.

Остановимся теперь на недостатках книги, которые хорошо бы устранить или смягчить во втором издании.

Из сказанного выше, видимо, понятно, что автор, нимало не жертвуя строгостью, особое внимание уделяет красивым конкретным приложениям и не стремится развивать общие теории далее, чем это строго необходимо. Сам по себе такой подход представляется совершенно оправданным, но иногда он заводит слишком далеко, что приводит к ощутимому ухудшению изложения.

Например, в самом начале книги приводятся определения цепного комплекса, его гомологий и цепной гомотопии, но почему-то не рассказывается про точную последовательность гомологий, соответствующую точной последовательности комплексов. В результате приходится абсолютно одни и те же простые и скучные рассуждения повторять много раз: в доказательстве гомологической последовательности пары (с. 22-23) и трех вариантов последовательности Майера-Виеториса (с. 28-29, 30-31 и 299). Еще более яркий пример такого рода доставляет судьба понятия "естественный гомоморфизм": в сноске на с. 18 к нему даются неформальные пояснения, не поддающиеся никакой разумной интерпретации, перед теоремой об ацикличных моделях (с. 114) дается формальное определение категорий, функторов и "естественных преобразований" (морфизмов функторов) без единого примера (не считая, естественно, самого доказательства теоремы), а больше нигде в книге (набитой, разумеется, функторами и их морфизмами, как гусь яблоками) понятие морфизма функторов, кажется, не упоминается.

Неудачным представляется параграф 17 пятой главы "Когомологии с коэффициентами в пучке". Определение пучка и (чеховских) когомологий, приводимое в этом параграфе, далее нигде в книге, если не ошибаюсь, не используется (используются только когомологии Чеха с постоянными коэффициентами); более того, никаких связей с содержанием остальной части книги в этом месте не устанавливается (например, ни слова не сказано о том, что частным случаем когомологий пучков являются определяемые на с. 149-50 когомологии с локальными коэффициентами; отсутствует пучковая интерпретация конструкций из второго доказательства двойственности Пуанкаре). Возможно, имеет смысл вообще изгнать из книги упоминания о пучках.

Есть в книге и чисто технические (можно ли сказать "техредовские"?) огрехи. Я не пытался составить их полный список (это отдельная большая работа), но внимательно пройтись по книге и исправить опечатки в формулах явно стоит. Надо только дать человеку, который будет заниматься этой неблагодарной работой, достаточно времени.


В заключение хочу еще раз подчеркнуть: автором в одиночку проведена огромная тяжелая работа, в результате получились две очень хорошие книги. Полагаю, что они быстро разойдутся, и надеюсь, что вскоре после этого появится второе издание.
Tags: рецензии
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 7 comments