Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Под замком я написал про преследующие меня математические софизмы, а без замка, пожалуй, опубликую один из них (рассказан студентом на занятии в качестве решения задачи).

Итак, пусть U — область на комплексной плоскости, заключенная между двумя неконцентрическими окружностями (одна строго внутри другой). Утверждается, что не существует конформного изоморфизма между U и областью на плоскости, заключенной между двумя концентрическими окружностями (в задаче требовалось найти таковой для некоторой конкретной U).

Доказательство. Пусть, рассуждая от противного, существует изоморфизм меду U и V, где V — кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями. По принципу соответствия границ это конформное отображение продолжается до гомеоморфизма границ, и без ограничения общности можно считать, что внешняя граница отображается на внешнюю, а внутренняя — на внутреннюю. Теперь добавим к U и V их образы при инверсии относительно внутренней границы; по принципу симметрии наше конформное отображение продолжится до конформного отображения между этими увеличенными областями. Аналогично добавим образы при инверсии относительно внешних границ и опять применим принцип симметрии — конформно отображаемые области еще увеличатся.

Итерируем эту конструкцию, распространяя каждый раз конформный изоморфизм на кольцо, полученное из предыдущего с помощью добавления образов при инверсии относительно внешней и внутренней окружности. В итоге «концентрическое» кольцо V расширится до всей плоскости минус центр кольца, а «неконцентрическое» кольцо U — до плоскости, из которой выкинута какая-то точка внутри меньшего круга. По теореме Римана об устранимой особенности этот конформный изоморфизм между двумя проколотыми плоскостями продолжается до конформного отображения из C в C. Однако всякое такое конформное отображение есть преобразование подобия, а неконцентрическое кольцо подобным концентрическому быть не может — противоречие.

А теперь объясните, что не так в этом рассуждении. Ком. скр. (потому как тут неправильных решений, как мне кажется, быть не может: или правильное, или никакого).

Edit. Правильно мне кажется. Остается только регистрировать правильно ответивших: mtsyr, p_k (по модулю малосущественной тонкости), xaxam — наполовину (риторический вопрос резонный, но все же стоит выяснить, что там происходит на самом деле), а вот теперь все четко, carla461 (по модулю малосущественной тонкости), akor168 — примерно +/2 (а подробнее откомментирую, когда комменты открою), marina_p...

Все: комменты открыты и не скрываются, кто хочет порешать — не заглядывайте.
Tags: загадки, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 27 comments