Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Categories:

А вот вам еще софизм

Этот будет, видимо, проще (и глупее) предыдущего. Тоже был студенческим вопросом, на который я, к стыду своему, сходу не ответил. Итак, рассмотрим пространство L2 на отрезке относительно обычной меры Лебега. Как известно, оно имеет мощность континуум (напомню во избежание кривотолков, что элементы этого пространства — не функции, а их классы эквивалентности с точностью до расхождения на множестве меры нуль).
Как и у всякого, пусть и бесконечномерного, векторного пространства над R, у L2 имеется базис в алгебраическом смысле: подмножество B⊂L2 с тем свойством, что всякий элемент из L2 единственным образом представляется в виде конечной линейной комбинации элементов из B. Поскольку L2 и R имеют мощность континуум, базис B счетен. Подвергнем наш базис обычной процедуре ортогонализации по Граму-Шмидту: элемент e1 умножим на подобающий коэффициент, чтоб длина стала равна 1, из элемента e2 вычтем подобающее кратное элемента e1, чтоб он стал ортогонален элементу e1 и так далее. В итоге получим счетный и ортонормированный алгебраический базис. Но вот такой в L2 точно существовать не может! В самом деле если базис таков, то ряд e1+e2/2+... очевидным образом (по критерию Коши) сходится, но его сумма не может быть конечной линейной комбинацией элементов ei, так как, очевидно, все ее «коэффициенты Фурье» ненулевые.

Что не так?

Ком. скр., разумеется, а то сразу спойлеров накидаете.

Так, пошли ответы.

Юзеру zlyuk: да, правильно, ошибка в этом месте. А на самом деле как?

p_k: примерно +/2 (потому что 50% ответа совершенно неверны). А, вот в отредактированном комментарии все верно (и скорей всего, предыдущая версия с ошибкой — просто описка). Ну и тот же вопрос: а на самом-то деле как?

marina_p: да, все верно (но как там на самом-то деле?). (Ну да, именно это я и хотел спросить.)

burivykh: да, все верно, и софизм полностью разобран!

mtsyr: да, верно, и да, именно это и требуется определить.

rus4, buddha239, ilya_dogolazky, akor168 — тоже верно!

Все, комменты открыты и больше не скринятся. Кто хочет погадать, не заглядывайте. А всем уже порешавшим советую комментарии почитать: там довольно много интересной дополнительной информации. Но сам софизм много проще предыдущего.
Tags: загадки, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 73 comments
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →
Previous
← Ctrl ← Alt
Next
Ctrl → Alt →