Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Новая рецензия

А.Г.Хованский. Теория Галуа, накрытия и римановы поверхности. М.: МЦНМО, 2007. 96 с. ISBN 5-94057-266-9. Тираж 1000 экз.

Брошюра, предназначенная, согласно аннотации, для студентов, аспирантов и специалистов в области математики, состоит из трех глав: "Теория Галуа", "Накрытия" и "Теория Галуа и римановы поверхности". В первой главе, занимающей больше половины всего текста, рассказывается элементарная часть теории Галуа с упором на критерий разрешимости уравнения в радикалах в терминах его группы Галуа. Вторая глава является чисто топологической: рассказываются элементарные факты про накрытия (с упором на "преобразования наложения" и регулярные накрытия). В третьей главе рассказывается конструкция разветвленного накрытия римановой поверхности по конечному расширению ее поля функций. По содержанию практически весь материал является стандартным.

В первой главе применяется изящная методическая находка, позволяющая обойти использование теоремы Гильберта 90 или ее аналогов в доказательстве того, что из разрешимости группы вытекает разрешимость уравнения в радикалах. Именно, если L — абелево расширение степени n поля K (где n не делится на характеристику) и если K содержит корни степени n из единицы, то вот как доказывается, что всякий элемент поля L является суммой корней степени n из элементов поля K: действие группы Галуа (конечной абелевой!) на L как пространстве над K полупросто, а собственные значения всех операторов лежат, по условию, в K, так что в L есть базис из корневых векторов, а n-я степень всякого корневого вектора инвариантна относительно группы Галуа.

Доказательство критерия разрешимости уравнений в радикалах (теорема 8.8 на с. 37) ошибочно: группа Gj+1 не обязана быть нормальной подгруппой в Gj (чтобы приведенные в брошюре рассуждения были корректны, надо до рассмотрения башни расширений присоединить к полю K корни из единицы нужной степени). Доказательство того факта, что конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклична (утверждения 8.1-8.3 на с 35-36), на мой взгляд, неоправданно усложнено: если уж пользоваться теоремой о структуре конечных абелевых групп, то доказательство укладывается в один короткий абзац.

В целом изложение стилизовано под XIX век: не упоминаются слова "кольцо" и "идеал" даже там, где это упростило бы изложение (см. с. 31); на протяжении всей первой главы автор свободно пользуется оборотами наподобие "присоединим к данному полю все корни данного многочлена", не объясняя, как и почему это можно сделать (слова "алгебраическое замыкание" или "поле разложения", кажется, не упоминаются в брошюре ни разу). Разумеется, выбор такого изложения — не небрежность, а сознательное решение.

Жалко, что в книге, в которой немало внимания уделено разрешимости в радикалах, не обсуждаются и даже не упоминаются весьма естественные вопросы, с этой разрешимостью связанные. Кажется, в книге нет ничего ни о разрешимости в вещественных радикалах, ни о том, можно ли, собственно говоря, выразить в радикалах корни из единицы, ни о том, как можно исследовать разрешимость в радикалах конкретных уравнений с целыми коэффициентами.

Два замечания к издательству: во-первых, труднопроизносимая фамилия математика Puiseux передана по-русски как `Пьюизо', что не согласуется с традиционно использующимся в отечественной литературе `Пюизё'; во-вторых, в списке литературы год издания английского перевода книги В.Б.Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях" один раз указан как 2004, а другой раз — как 2006.
Tags: рецензии
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 0 comments