Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Categories:

Студенты порадовали

Есть такая классическая задачка: функция непрерывна на замкнутом круге, голоморфна в его внутренности и тождественно равна нулю на целой дуге граничного круга; доказать, что это тождественный нуль. Ну, я сначала предложил студентом доказать, что кольцо голоморфных функций на открытом и связном множестве целостно, затем дал эту задачу, вскоре получил традиционное решение (с поворотами), и тут еще один студент тянет руку и рассказывает решение, которого я не знал: добавим к нашему кругу (вне его) еще одну открытую область, один из участков границы которой — та самая дуга, на которой функция нулевая, и продолжим функцию нулем на добавленную часть. Тогда на расширенной области получится непрерывная функция, заведомо голоморфная всюду, кроме, быть может, дуги. Значит, она голоморфна всюду (скажем, по теореме Мореры), а так как она нуль на непустом открытом множестве, она и нуль всюду.

В связи с обсуждением этого решения возник, кстати, такой вопрос. Если функция f непрерывна на открытом множестве UC и голоморфна на UC, где C — гладкая кривая, то f голоморфна на всем U. А насколько можно тут смягчить условия на C? Уже после семинара я сообразил, что это верно, если C — замкнутое подмножество меры нуль. (Нет! См. комментарии.) Ну а если, скажем, это жорданова кривая положительной меры?
Tags: дневник, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 49 comments