Serge (xgrbml) wrote,
Serge
xgrbml

Математическое почти что не хулиганство

Как известно, в доказательстве теоремы об обратной функции ключевое место — проверка того, что C^1-отображение с невырожденным дифференциалом между пространствами одной размерности явялется открытым. Вот какое хулиганское доказательство придумалось.

При проверке открытости отображения F в точке x можно считать, что F(x)=x и что F'(x) — тождественное отображение. Рассмотрим замкутый шар B_r радиуса r с центром в x; при достаточно малых r образы точек его границы отстоят от центра не менее чем на r/2. Так вот, я утверждаю, что в этой ситуации открытый шар радиуса r/2 с центром в x целиком лежит в образе F. Доказательство: если точка p из этого шара не лежит в образе, то рассмотрим ограничение F на границу шара B_r как отображение из сферы в R^n с выколотой точкой p. С одной стороны, это отображение гомотопно тождественному отображению границы и тем самым негомотопно отображению в точку. С другой стороны, оно продолжается со сферы на шар и тем самым гомотопно отображению в точку.

Непонятно только, в какой курс это можно включить. Даже в НМУ такую топологию обычно проходят позже, чем теорему об обратной функции.
Tags: математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 2 comments