Педагогическая идея
Едучи в метро, придумал, как можно рассказывать детям про накрытия.
Во-первых (это наверняка кто-то делал), как доказывать единственность подъема пути? Пусть X→Y —накрытие, γ:[0;1]→Y — путь, и пусть γ1,2 — его поднятия с общим началом. Обозначим через S множество точек t, для которых γ1(t)=γ2(t). Оно замкнуто (тут нужна хаусдорфовость X), а так как X→Y —накрытие (а хоть бы и всего лишь локальный гомеоморфизм), оно еще и открыто. Всё!
Но это еще так. Теперь главное: пусть Z — произвольное компактное и связное пространство.Тогда C(Z,X)→C(Z,Y) — тоже, что характерно, накрытие! Ой, нет! В общем случае это даже сюръекцией быть не обязано! Но если Z — отрезок, то, кажется, все же правда. (Через C(-,-) обозначаем пространство непрерывных отображений, с компактно-открытой топологией.) Поэтому любая гомотопия отображений из Z в Y поднимается до гомотопии отображений из Z в X. Ффсё!
Надо бы это опробовать в каком-нибудь заведении с продвинутой матема... Oh, wait!
Во-первых (это наверняка кто-то делал), как доказывать единственность подъема пути? Пусть X→Y —накрытие, γ:[0;1]→Y — путь, и пусть γ1,2 — его поднятия с общим началом. Обозначим через S множество точек t, для которых γ1(t)=γ2(t). Оно замкнуто (тут нужна хаусдорфовость X), а так как X→Y —накрытие (а хоть бы и всего лишь локальный гомеоморфизм), оно еще и открыто. Всё!
Но это еще так. Теперь главное: пусть Z — произвольное компактное и связное пространство.
Надо бы это опробовать в каком-нибудь заведении с продвинутой матема... Oh, wait!